我以前一直很奇怪為什麼三次方程求根公式有兩部分構成，四次三個部分…
如果五次是不是四個部分? 這意味著什麼? 看起來很像線性結構?
最近看到一種很有趣的五次方程解法.
一定程度上解決了我的這個疑惑
求解五次方程
這個方程不可因式分解，其伽羅瓦群是亞循環群
考慮一般情況：
轉化為同解微分方程
一個簡單的線性常微分，解之得：
所以五個根就是：
這就很有趣了…這個同解微分方程怎麼得到的呢?
我找了下參考文獻
J. Cockle: Sketch of a Theory of Transcendental Roots, Phil. Mag. XX, 145 (1860)
J. Cockle: On Transcendental and Algebraic Solution, Phil. Mag. XXIII, 135 (1862)
R. Harley: On the solution of the transcendental solution of algebraic equations, Quart. J. pure appl. Math. V, 337 (1862)
以下是Cockle 與 Harley 在 1860 年左右完成的計算…
讓我們從布林傑拉德正規式開始計算
因為所有的五次方程都能轉化為布林傑拉德正規式：
我們把 x 看成 t 的函數，也就是考慮函數方程：
你這個對齊能不能再爛一點
我們希望它同解於一個微分方程：
接下來我們對(2)式反覆求導
然後把(4)式代入(3)式
然後又是很困難的一步
重新代入(5)式中，反覆代入直到沒有任何項次數高於5
然後比較係數唄…
注意到第3項係數是求不出的，這意味著線性無關(無關緊要)直接設為1即可。
然後代回(3)式得
然後求解這個方程…不說了太長了
<span style="font-size: 15px;"><img src="https://pic2.zhimg.com/v2-8cf7b3009b5c3b1d3a822e94b2e3e22f_b.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="883" data-rawheight="795" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="883" data-original="https://pic2.zhimg.com/v2-8cf7b3009b5c3b1d3a822e94b2e3e22f_r.jpg"></span>
實驗代碼：
eqn=x[t]^5-x[t]+t==0;
diffeqn=Total@Table[Subscript[a,i] Derivative[5-i][x][t],] +Subscript[a,6]==0
deriv=Flatten[Table[Solve[D[eqn,],D[x[t],]],]]
algeqn=Expand[diffeqn//. deriv]
expr=FixedPoint[Collect[#,x@t]/.x[t]^i_/;i>4:>(x[t]-t) x[t]^(i-5)&,Numerator@Together[Subtract@@algeqn]];
FullSimplify[expr==0]
var=Array[Subscript[a,#]&,6];
coe=Solve[CoefficientList[expr,x[t]]==0//Thread,var]
diffeq=diffeqn//.coe
sol=First@DSolve[diffeq,x@t,t];
approximation=sol/.HoldPattern@HypergeometricPFQ[w__]->1
eqnapprox=eqn/.approximation
system=(#1==0&)/@Take[CoefficientList[eqnapprox[[1]],t],4]
coeC=Solve[system,C/@Range@4]
solfinal=sol/.coeC
Block[,eqn/.solfinal]
軟體計算時間大概一分鐘不到吧…
本文由超級數學建模編輯整理
資料來源於醬紫君（知乎）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/32404214
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